Euklidsk ring

Euklidisk ring eller euklidiskt område er innenfor abstrakt algebra en ring med en spesiell struktur som muliggjør en variant av Euklids algoritme. Denne algoritme kan siden benyttes til det samme som den anvendes til i ringen av heltall, nemlig beregning av største felles divisor av to element.

En ring som er euklidisk, har mange gode egenskaper. For eksempel er den et prinsipalidealdomene og hvert element har en entydig faktorisering.

Definisjon

Formelt defineres en euklidsk ring som en heltallsring D hvor en kan definere en funksjon v som gjør ikke-negative elementer av D til ikke-negative heltall som oppfyller følgende divisjon med rest med følgende egenskaper:

• Hvis a og b er i D og b er ulik null, da er det en q og en r i D slik at a = bq + r og enten r = 0 eller v(r) < v(b).

Funksjonen v kalles en valuation, en norm eller en gauge og nøkkelpunktet her er at resten r har en v-størrelse mindre enn v-størrelsen til nevneren b. Operasjonen som avbilder (a, b) til (q, r) kalles den euklidske divisjonen, hvor q kalles euklidske kvotient.

Nesten alle bøker som omhandler algebra og diskuterer euklidske ringer har med denne egenskapen:

• For alle ikke-null a og b i D, v(a) ≤ v(ab).

En ring er et euklidiskt område om den er et integritetsområde som har en euklidisk vurdering.

Eksempel

• Ringen av heltall er euklidisk med euklidisk vurdering $\phi (n)=|n|$.
• Ringen av gaussiske heltall med vurderingen $f(a+bi)=a^{2}+b^{2}$.
• $K[x]$, polynomringen over en kropp, med vurderingen $f(p)$ definert som p:s grad.

Egenskaper

La ringen R være euklidisk med euklidisk vurdering f. Da gjelder:

• R er en prinsipalidealdomene og en faktoriell ring, men omvendingene gjeler ikke.
• Om heltallet m er minimum til f da gjelder at $f(x)=m$ om og kun om x er en enhet.
• Euklids algoritme kan tillempes i ringen.

Litteratur

• Zariski, Oscar; Pierre Samuel (1958): Commutative Algebra I. D. van Nostrand.
• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004): Abstract Algebra. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.